三電容電路是基本π網(wǎng)絡(luò)的一種，多角度理解三電容電路是模擬電路設(shè)計(jì)入門的關(guān)鍵，本文將詳細(xì)解說三電容電路圖和三電容電路時(shí)域分析。
三電容電路
作為基本π網(wǎng)絡(luò)的一種，三電容電路是理解模擬電路頻響、放大器穩(wěn)定性、開關(guān)-電容放大器、開關(guān)-電容積分器、采樣保持放大器的基礎(chǔ)。從多種不同的角度深刻理解三電容電路是模擬電路設(shè)計(jì)入門的關(guān)鍵，同時(shí)三電容電路也是各大電路公司面試常用的題型。
首先，這個(gè)電路有三個(gè)電容，但是三個(gè)電容形成一個(gè)環(huán)，電路只有兩個(gè)獨(dú)立的狀態(tài)變量（state variable），所以這個(gè)電路的傳輸函數(shù)只有兩個(gè)極點(diǎn)。
基本π型函數(shù)列出傳輸函數(shù)V2/I1
零極點(diǎn)的位置如下圖，有一個(gè)極點(diǎn)在原點(diǎn)，注意有一個(gè)零點(diǎn)在右半平面。
假設(shè)拉普拉斯域I1（s） 為 1，或者時(shí)域i1（t）為1*δ（t），我們可以通過拉普拉斯反變換找出v2（t）：
我們發(fā)現(xiàn)，v2（t） 由一個(gè)階躍項(xiàng)和一個(gè)指數(shù)項(xiàng)組成，指數(shù)項(xiàng)會(huì)衰減到0，但是階躍項(xiàng)會(huì)一直保持。合在一起的總響應(yīng)就是一開始有一個(gè)反向的過沖（overshoot），然后會(huì)以指數(shù)衰減的方式穩(wěn)定到一個(gè)固定的終值。5
現(xiàn)在我們換一種方式來分析零極點(diǎn)。之前我們講過，極點(diǎn)是由電路的純粹的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)所定的，每一個(gè)網(wǎng)絡(luò)函數(shù)都有一樣的極點(diǎn)。
三電容電路零極點(diǎn)分析
現(xiàn)在我們來看這個(gè)純粹的電路。假設(shè)這個(gè)電路是零狀態(tài)的（relaxed），那么這個(gè)電路是線性時(shí)不變的（LTI），所以C1 C2組成了一個(gè)分壓器，那么我們可以用V1來表示V2。
但是V2由是受控源兩端的電壓，而這個(gè)受控源也受到V1的控制，所以就變成了壓控電流源被自己兩端電壓所控制。一個(gè)被自己電壓控制的電流源就是一個(gè)電阻。所以我們可以算出該電阻：
于是，三電容電路變成了下圖。這個(gè)電路的時(shí)間常量很好算了，算出來果然跟我們之前算的一個(gè)極點(diǎn)吻合。
另一個(gè)極點(diǎn)呢？
我們現(xiàn)在假設(shè)C2 C3上的t=0- 時(shí)的初始狀態(tài)為這樣：
當(dāng)t=0時(shí)，我們發(fā)現(xiàn)整個(gè)電路沒有電流，C2 C3上的電壓一直保持著，這種能夠保持初始狀態(tài)的網(wǎng)絡(luò)，一定有一個(gè)極點(diǎn)在原點(diǎn)。我們可以舉一個(gè)最簡(jiǎn)單的例子，一個(gè)電容可以保持電壓，所以電容的阻抗這個(gè)網(wǎng)絡(luò)函數(shù)有一個(gè)極點(diǎn)在原點(diǎn)。
這也與我們之前的推導(dǎo)吻合。
現(xiàn)在找零點(diǎn)，我們之前學(xué)過，零點(diǎn)是很特別的，是由激勵(lì)和響應(yīng)的相對(duì)位置決定的。找零點(diǎn)需要抵消響應(yīng)。現(xiàn)在我們把響應(yīng)V2 抵消掉，如圖：
那么C3沒有電流，受控源的電流等于C2的電流，但是C2的電流由可以被直接用V1表示出來，所以：
三電容電路時(shí)域分析
然后，我們從時(shí)域的角度把三電容電路的機(jī)理再過一次（非常重要！是深入理解三電容電路并幫你通過面試拿到offer的關(guān)鍵！）。
我們必須要先理解沖激電流的物理意義。單位沖激電流在拉普拉斯域的表示為1。注意這個(gè)1是有單位的，單位是庫倫，大家可以思考一下為什么電流的拉普拉斯轉(zhuǎn)換的單位是庫倫。在時(shí)域里，單位沖激函數(shù)前面的1的單位也是庫倫，因?yàn)閱挝粵_激函數(shù)的積分為1，但是電流的積分必須是庫倫，所以這里的1代表了一個(gè)包裹的1庫倫電荷，這個(gè)1庫倫的電荷只需要0時(shí)間就可以被輸送，因?yàn)樵趖=0的時(shí)候，電流無窮大。
所以，單位沖激電流的物理意義就是用0時(shí)間通過無窮大的電流向一個(gè)高斯面里輸送了1庫倫電荷。
現(xiàn)在回到三電容電路，在t=0-時(shí)，三個(gè)電容都沒有初始電荷。在t=0時(shí)，1庫倫的電荷被注入到了紅色高斯面里。現(xiàn)在的問題是，會(huì)不會(huì)有有限量的電荷在t=0時(shí)流入綠色高斯面。我們來分析這個(gè)情況：
如果有有限量的電荷流入綠色高斯面，那說明受控源gmv1必須是無窮大，因?yàn)闊o窮大的電流才能在0時(shí)間內(nèi)輸送有限的電荷，有限的電流在0時(shí)間內(nèi)輸送0電荷。
這表示v1是無窮大，但是v1無窮大的話，紅色高斯面內(nèi)必須有無窮大的電荷，這不可能，因?yàn)闆_激電流所攜帶的電荷是有限的。所以受控源電流是有限的，受控源在0時(shí)間內(nèi)不輸送任何電荷。所以在t=0+時(shí)，只有電荷會(huì)在C1 C2 C3 中重新分布，1庫倫的電荷會(huì)在C1+C2||C3這個(gè)總電容上建立一個(gè)電壓v1（0+）。C2 和C3必須形成一個(gè)分壓器，因?yàn)镃2的右極板和C3的上極板的電荷總和為0。這樣我們可以推出v2（0+）：
化簡(jiǎn)v2（o+），我們可以得到：
這跟我們之前用拉普拉斯轉(zhuǎn)換得到的結(jié)果一致！
下面看最終狀態(tài)，當(dāng)電路達(dá)到最終狀態(tài)時(shí)，所有的狀態(tài)變量都不再改變了（除非我們有共振或者不穩(wěn)定的特殊情況，然而這個(gè)電路顯然沒有），這說明受控源gmv1必須為0，v1必須為0。但是當(dāng)t》0時(shí)，紅色高斯面內(nèi)的電荷就不再會(huì)改變了，因?yàn)楠?dú)立電流源為0，所以所有1庫倫的電荷都必須被“擠壓”到C2上，產(chǎn)生電壓1/C2。因?yàn)関1（∞）為0，所以我們可以算出v2（∞）為-1/C2。
這又跟我們用拉普拉斯轉(zhuǎn)換得到的結(jié)果一致！
我們之已經(jīng)分析過，這個(gè)電路只有一個(gè)非無窮大的時(shí)間常量，所以這是一個(gè)“準(zhǔn)一階電路”。對(duì)于這種電路，只要我們知道在t=0+的初始值和t=∞的終值，中間的行為就是一個(gè)一階指數(shù)衰減。所以我們得到與之前一致的響應(yīng)：
引入非理想效應(yīng)
接著我們引入一個(gè)不理想效應(yīng)，在受控源處并聯(lián)一個(gè)電導(dǎo)G3（有沒有覺得下面的電路圖很熟悉？對(duì)了，就是MOSFET小信號(hào)電路基本就長(zhǎng)這樣）。
重新使用基本π型函數(shù)列出傳輸函數(shù)：
這里，D0成為了誤差項(xiàng)，如果要讓D0非常接近于1，gmR3要遠(yuǎn)大于1+C1/C2。
我們來從時(shí)域角度看這個(gè)問題：
如果G3不為0，那么在終值狀態(tài)時(shí)，會(huì)有一個(gè)循環(huán)的電流流過G3。所以gmv1不為0，那么v1不為0。這樣，并非所有的1庫倫電荷都被“擠壓”到了C2上，這就是導(dǎo)致誤差項(xiàng)的原因。對(duì)于模擬電路而言，我們希望精確地放大信號(hào)，放大倍數(shù)最好是元件之間的比例。假如我們的沖激電流源變成了vsC1δ（t），或者說C1 采樣了一個(gè)電壓源vs，C1在t=0時(shí)被放置到三電容電路里，如果G3為0，那么響應(yīng)v2終值將為準(zhǔn)確的電容比例-C2/C1 vs。但如果G3不為0，這個(gè)比例就會(huì)有誤差。
三電容電路實(shí)際應(yīng)用
看到這里，大家一定會(huì)認(rèn)為我們會(huì)拿MOSFET小信號(hào)電路作為例子吧？非也，我們當(dāng)然要找一個(gè)更有趣的例子。下面由焦魔為大家講一個(gè)三電容電路的實(shí)例：開關(guān)電容積分器（SCIntegrator）。
開關(guān)電容積分器是有源梯形濾波器（AcTIve Ladder Filter）的基本組成模塊。相比于使用電阻電容有源濾波器（OpAmp RC Filter），開關(guān)電容濾波器（SC Filter）具有精度高，噪聲小，受工藝、電壓、溫度影響小的優(yōu)點(diǎn)（原因是我們不再需要電阻這個(gè)在芯片上很難做準(zhǔn)的元件了）。下圖所示為一種基本的開關(guān)電容積分器（前向歐拉型，F(xiàn)orward Euler）的電路。
注：在該電路圖中，梯形符號(hào)代表跨導(dǎo)放大器（OperaTIonal Transconductance Amplifier， OTA）。跨導(dǎo)放大器和我們熟悉的運(yùn)算放大器非常容易混淆，前者使用梯形符號(hào)，后者則是三角形符號(hào)。運(yùn)算放大器的模型是一個(gè)壓控電壓源，跨導(dǎo)放大器的模型是一個(gè)壓控電流源。嚴(yán)格來講，我們通常所說的集成電路中的運(yùn)算放大器實(shí)際上都是指跨導(dǎo)放大器；而我們做板級(jí)電路設(shè)計(jì)時(shí)使用的運(yùn)放芯片才是真正的運(yùn)算放大器。
該電路有兩個(gè)工作相位。在φ1相位，電容C1的電壓跟隨輸入電壓vi變化，φ1相位結(jié)束時(shí)電容C1的電壓即為φ2相位開始時(shí)的初始電壓。φ2相位時(shí)電路的小信號(hào)模型如下圖右側(cè)所示。其中沖激電流源等效代表了C1的初始電壓。電路的時(shí)序和波形圖如下：
電容C1在每個(gè)周期的采樣值在tk時(shí)刻確定，輸出電壓在每個(gè)周期φ2的開始時(shí)刻開始變化，先有一個(gè)瞬時(shí)的前向饋通，然后以指數(shù)衰減的形式穩(wěn)定到最終的電壓值，理想情況下電壓的變化量由電容C1和C2的比值以及tk時(shí)刻采樣的輸入電壓值決定。同時(shí)，上一個(gè)周期存在C2上的電荷并沒有被釋放，所以這個(gè)電路就變成了一個(gè)積分器。如果考慮OTA有限的輸出電阻，這個(gè)電壓變化量會(huì)有一定的偏差。
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在核輻射測(cè)量?jī)x器中，對(duì)測(cè)量精度與采樣速度都有一定的要求，一般的檢測(cè)電路會(huì)引起較大的誤差。本次電路的設(shè)計(jì)，可以較為精確的完成對(duì)峰值信號(hào)脈沖的檢測(cè)與保持，從而完成對(duì)脈沖幅度的測(cè)量，進(jìn)而知道輻射的能量大小。研究峰值檢測(cè)電路對(duì)設(shè)計(jì)核輻射探測(cè)儀器具有重要的意義。
1、峰值檢測(cè)電路總體設(shè)計(jì)
峰值保持電路屬于核輻射測(cè)量?jī)x器中信號(hào)數(shù)據(jù)采集部分的核心電路，要準(zhǔn)確的完成峰值的甄別及保持，就需要對(duì)各部分電路的時(shí)序進(jìn)行嚴(yán)格的控制，因此，必須各部分的器件及連接方案進(jìn)行慎重的選擇。本系統(tǒng)采用主放大器，甄別電路，控制電路及峰值保持四部分組成峰值檢測(cè)電路，圖1為電路原理圖。
圖1 峰值檢測(cè)電路原理圖
主放大器是放在前置放大電路和甄別電路之間，需要增益調(diào)節(jié)來補(bǔ)償核輻射探測(cè)器輸出脈沖幅度的變化。由于探測(cè)器輸出的脈沖信號(hào)幅度比較小（為幾十毫伏至幾百毫伏），脈沖寬度比較窄，為了能進(jìn)行信號(hào)幅度分析，實(shí)現(xiàn)能譜測(cè)量，需要脈沖線性放大器將脈沖信號(hào)進(jìn)行幅度的線性放大與脈沖的成形。本系統(tǒng)選用運(yùn)放CA3140，它具有輸入阻抗高、噪聲低、功耗小、溫漂小等特點(diǎn)。
甄別電路的主要功能是完成過峰檢測(cè)和去除信號(hào)噪聲的功能。通過設(shè)定閉值，將信號(hào)中能量小于閾值的噪聲去。這種電路只允許一定幅度的脈沖通過，供其后電路記錄。由于在核輻射脈沖測(cè)量中對(duì)采樣時(shí)間要求很快，因此我們選用高速比較器LM319。控制電路是整個(gè)電路的控制中心，它按照甄別電路的時(shí)序，自動(dòng)地控制整個(gè)電路協(xié)調(diào)的完成測(cè)量工作，控制電路一般由一些門電路構(gòu)成，有定時(shí)信號(hào)開啟或關(guān)閉這些門電路，給出相應(yīng)的脈沖信號(hào)去控制電路工作。
在本設(shè)計(jì)中，控制電路主要功能是完成對(duì)A/D讀入/轉(zhuǎn)換狀態(tài)的控制。從而完成對(duì)輸出峰值的測(cè)量和顯示。控制電路主要由74LS74觸發(fā)器構(gòu)成，74LS74觸發(fā)器為帶預(yù)置和清除端的兩組D型觸發(fā)器。
峰值保持電路的功能是跟蹤輸入信號(hào)（一般是脈沖），直到輸入信號(hào)達(dá)到峰值為止，進(jìn)入保持狀態(tài)，保持輸入信號(hào)的峰值不變（當(dāng)然實(shí)際上存在泄漏電流引起的跌落），直到被復(fù)位，回到跟蹤狀態(tài)。它主要由電壓保持電容以及電壓跟隨器組成。在選用電壓跟隨器時(shí)要注意選用阻抗較大的跟隨放大器才能更精確的完成峰值的保持和測(cè)量，因此本設(shè)計(jì)選用阻抗較大的運(yùn)算放大器CA3140作為電壓跟隨器。
在本次設(shè)計(jì)中要使用+5V和-5V兩種電源，在實(shí)際應(yīng)用中可選用一種電平轉(zhuǎn)換芯片完成兩種電壓之間的轉(zhuǎn)換。
2、結(jié)語
本文根據(jù)核輻射測(cè)量中所需要注意的問題設(shè)計(jì)了一種峰值檢測(cè)電路，主要解決了以下問題：
（1）由于此電路是用于核輻射測(cè)量中，所測(cè)量的脈沖寬度較窄，因此要進(jìn)行進(jìn)沖信號(hào)的放大整形。采用低功耗，高阻抗的放大器能夠減小運(yùn)放輸入失調(diào)造成的誤差。
（2）通過甄別電路和控制電路的時(shí)序來控制模擬開關(guān)和ADC的轉(zhuǎn)換時(shí)間。
實(shí)踐表明，這種峰值檢測(cè)電路設(shè)計(jì)合理，可以在實(shí)際的核輻射測(cè)量?jī)x器中使用，此電路可以完成對(duì)信號(hào)峰值的檢測(cè)與保持，完成核輻射脈沖幅度的測(cè)量，從而得到輻射的能量大小，對(duì)核輻射測(cè)量?jī)x器的設(shè)計(jì)具有重要的意義。
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